O Triângulo de Sierpinski pertence a uma classe de objectos matemáticos conhecidos como fractais, cuja principal característica é não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado.
Como obter o fractal “o triângulo de Sierpinski”?1) Determina-se o ponto médio dos lados de um triângulo equilátero. Une-se por segmentos estes pontos médios, dois a dois, ficando o triângulo grande decomposto em quatro pequenos triângulos, congruentes;
2) Suprime-se o triângulo central;
3) Nos três triângulos que permanecem repetem-se as operações efectuadas em 1 e 2;
4) Repete-se sucessivamente as operações 1 e 2 ate chegar ao seu limite.
(figura explicativa do processo de formação de o Triângulo de Sierpinski)
O triangulo trata-se de um objecto de perímetro infinito e superfície residual nula. Com o efeito, sendo a a área do primeiro triangulo, a área da figura, no passo n, será (3/4).a
Pelo que a área tende para zero (pois o limite de uma progressão geométrica de razão ¾<1>
Qual a relação com o triângulo de Pascal?
Se retirarmos os números pares e colorirmos de preto os números impares obtemos a seguinte imagem:
O triângulo de Pascal "transforma-se" assim no triângulo de Sierpinski.
Mas esta não é a única configuração interessante que podemos obter com o triângulo de Pascal. Considerando, por exemplo, os restos da divisão por 5 dos elementos do triângulo de Pascal. Se retirarmos os elementos cujos restos são 0 e colorirmos de vermelho, verde, azul e amarelo os elementos cujos restos são 1, 2, 3 e 4 respectivamente, obtemos:
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